Question

[選做題]在下面A，B，C，D四個小題中只能選做兩題，每小題10分，共20分．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，⊙O是等腰三角形ABC的外接圓，AB=AC，延長BC到點D，使CD=AC，連接AD交⊙O于點E，連接BE與AC交于點F，判斷BE是否平分∠ABC，并說明理由．
B．選修4-2：短陣與變換
已知矩陣M=

1 2 0 0 2

，矩陣M對應的變換把曲線y=sinx變為曲線C，求C的方程．
C．選修4-4：坐標系與參數方程
已知曲線C的極坐標方程是ρ=4sin(θ+

π

4

)，求曲線C的普通方程．
D．選修4-5：不等式選講
已知x，y，z∈R，且x+y+z=3，求x²+y²+z²的最小值．

Answer 1

分析：A．BE平面∠ABC．根據等腰三角形的性質，可得∠D=∠CAD，∠ABC=∠ACB．根據同弧所對的圓周角相等，進而可得ABE=∠EBC，即BE平面∠ABC． 
B．設P（x，y）是所求曲線C上的任意一點，它是曲線y=sinx上點P₀（x₀，y₀）在矩陣M變換下的對應點，根據矩陣變換可得y₀=sinx₀，從而

1

2

y0=sin2x，從而可求曲線C的方程．
C．曲線C的極坐標方程ρ=4sin(θ+

π

4

)，可化為ρ=2

2

（sinθ+cosθ），兩邊同乘以ρ，化簡可得普通方程；
D．注意到x，y，z∈R，且x+y+z=3為定值，利用柯西不等式得到（x²+y²+z²）（1²+1²+1²）≥（x×1+y×1+z×1）²=9，
，從而得解．

解答：A．證明：BE平面∠ABC．
∵CD=AC，∴∠D=∠CAD．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵∠EBC=∠CAD，∴∠EBC=∠D=∠CAD．  …（5分）
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ACB=∠D+∠CAD．
∴∠ABE=∠EBC，即BE平面∠ABC．  …（10分）
B．解：設P（x，y）是所求曲線C上的任意一點，它是曲線y=sinx上點P₀（x₀，y₀）在矩陣M變換下的對應點，
則有

x y

=

1 2 0 0 2

x0 y0

，即

x= 1 2 x0 y=2y0

，…（5分）

所以

x0=2x y0= 1 2 y

，又點P₀（x₀，y₀）在曲線y=sinx上，
即y₀=sinx₀，從而

1

2

y0=sin2x，
所求曲線C的方程為y=2sin2x．…（10分）
C．解：曲線C的極坐標方程ρ=4sin(θ+

π

4

)，可化為ρ=2

2

（sinθ+cosθ），…（5分）
化為直角坐標方程為x²+y²-2

2

x-2

2

y=0，
即(x-

2

)2+(y-

2

)2=4．…（10分）
D．解：注意到x，y，z∈R，且x+y+z=3為定值，
利用柯西不等式得到（x²+y²+z²）（1²+1²+1²）≥（x×1+y×1+z×1）²=9，
…（5分）
從而x²+y²+z²≥3，當且僅當x=y=z=1時取“=”號，
所以x²+y²+z²的最小值為3．   …（10分）

點評：本題是系列4的知識，考查基礎，考查學生靈活解決問題的能力．