Question

下面四個計算題中，結果正確的是    ．（填序號）
①若，且的夾角為60，則；
②棱長為2正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點A到平面BDD₁B₁的距離為d，則；
③棱長都是1的平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，，則對角線的長；
④在120的二面角α-AB-β中AC?α，BD?β，AB⊥AC，AB⊥BD，AB=AC=BD=1，則點C與D的距離．

Answer 1

【答案】分析：利用平方法，可由已知求出，進而求出，判斷出①的真假；
根據正方體的幾何特征，可得A與底面中心的之間的距離即為A到對角面的距離，進而判斷出②的真假；
利用余弦定理和三余弦定理，求出棱長都是1且的平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的對角線AC₁的長，進而判斷③的真假；
利用異面直線上兩點之間距離公式，求出CD的長，可判斷④的真假．
解答：解：∵，且的夾角為60，∴，，則=7，則；
連接AC，BD，交點為O，由正方體的幾何特征可得d=OA=AB=；
棱長都是1的平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，，則AC=，cos∠ACC₁=-，由余弦定理可得，對角線的長；
在120的二面角α-AB-β中AC?α，BD?β，AB⊥AC，AB⊥BD，AB=AC=BD=1，則點C與D的距離CD=2．
故答案為：①②③
點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了向量的模，正方體的幾何特征，平行六面體的幾何特征，異面直線上兩點間距離公式，計算量比較大，難度也比較大．