Question

【題目】下列命題中正確的有 ． （填上所有正確命題的序號） ①一質點在直線上以速度v=3t2﹣2t﹣1（m/s）運動，從時刻t=0（s）到t=3（s）時質點運動的路程為15（m）；
②若x∈（0，π），則sinx＜x；
③若f′（x0）=0，則函數y=f（x）在x=x0取得極值；
④已知函數 ，則 ．

Answer 1

【答案】②④
【解析】解：由定積分的物理意義可知：從時刻t=0（s）到t=1（s）時質點速度為負，從時刻t=1（s）到t=3（s）時質點速度為正， ∴質點運動的路程 （|3t2﹣2t﹣1|）dx+ （3t2﹣2t﹣1）dx=1+16=17（m），故①錯誤；
對于②設y=sinx﹣x，y′=cosx﹣1，x∈（0，π），故y′＜0，恒成立，y單調遞減，故y＜0，恒成立，故sinx＜x，故②正確；
③y=x3 ， f′（0）=0，單x=0不是函數的極值點，故③錯誤；
對于④由定積分的幾何意義可知：令y2=﹣x2+4x，
∴（x﹣2）2+y2=4，
是以（2，0）為圓心，以2為半徑的 圓的面積，
∴ ，故④正確．
所以答案是：②④．
【考點精析】認真審題，首先需要了解導數的幾何意義(通過圖像,我們可以看出當點趨近于時，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當點趨近于時，函數在處的導數就是切線PT的斜率k，即)．