Question

【題目】已知點，點為平面上動點，過點作直線的垂線，垂足為，且.

（1）求動點的軌跡方程；

（2）過點的直線與軌跡交于兩點，在處分別作軌跡的切線交于點，設直線的斜率分別為，，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）設P（x，y），則H（﹣1，y），通過向量的數量積求出動點P的軌跡C的方程．

（2）證明：設點M（x0，y0）（x0≠0）為軌跡C上一點，直線m：y=k0（x﹣x0）+y0為軌跡C的切線，聯立在與橢圓方程，利用判別式求出其判別式，求出，設A（x1，y1），B（x2，y2），AB：y=k（x﹣1），直線與拋物線方程，利用韋達定理求解斜率乘積即可．

試題解析：

（1）設，則，有，，，，從而由題意，得動點P的軌跡C的方程y2=4x．
（2）證明：設點（x0≠0）為軌跡C上一點，直線m：y=k0（x-x0）+y0為軌跡C的切線，有，消去x得，k0y24y4k0x0+y0＝0，其判別式△=16-4k0（-4k0x0+4y0）=0，解得，有m：，設

得根據

所以為定值.