Question

【題目】如圖，在四棱錐中P﹣ABCD，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°，AQ=QD，△PAD是正三角形．

（1）求證：AD⊥PB；

（2）已知點M是線段PC上，MC=λPM，且PA∥平面MQB，求實數λ的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2.

【解析】

（1）連結BD，則△ABD為正三角形，從而AD⊥BQ，AD⊥PQ，進而AD⊥平面PQB，由此能證明AD⊥PB；

（2）連結AC，交BQ于N，連結MN，由AQ∥BC，得，根據線面平行的性質定理得MN∥PA，由此能求出實數λ的值．

證明：（1）如圖，連結BD，由題意知四邊形ABCD為菱形，∠BAD=60°，

∴△ABD為正三角形，

又∵AQ=QD，∴Q為AD的中點，∴AD⊥BQ，

∵△PAD是正三角形，Q為AD中點，

∴AD⊥PQ，又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，

又∵PB平面PQB，∴AD⊥PB．

解：（2）連結AC，交BQ于N，連結MN，

∵AQ∥BC，∴，

∵PN∥平面MQB，PA平面PAC，

平面MQB∩平面PAC=MN，

∴根據線面平行的性質定理得MN∥PA，

∴，

綜上，得，∴MC=2PM，∵MC=λPM，∴實數λ的值為2．