Question

【題目】在中，為直角，，，與相交于點，，.

（1）試用、表示向量；

（2）在線段上取一點，在線段上取一點，使得直線過，設，，求的值；

（3）若，過作線段，使得為的中點，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）設，根據，，三點共線，可得存在非零實數使得，從而，，利用平面向量基本定理可得，的關系，同理，，三點共線，可得，的關系，由此即可求得，的值，即得解；（2）將兩次線性表示，利用平面向量基本定理，建立等式，消參，即可證得結論

（3）如圖，設的夾角為，則的夾角為，求出，再求取值范圍.

（1）解：設

，，三點共線，存在非零實數使得

，

①

又，，三點共線，存在非零實數使得

，

又②

由①②解得：，

所以.

（2）證明：由（1）知，

，，三點共線，

存在非零實數使得

消去得．

所以 .

（3）

如圖，設的夾角為，則的夾角為，

所以

所以

所以.