Question

【題目】已知函數f（x）=a（x-lnx）（a∈R）．

（Ⅰ）試討論函數f（x）的單調性；

（Ⅱ）若對任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＜+x-1恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（-∞，1）

【解析】

（Ⅰ）先求導，根據a的不同取值范圍進行分類討論，求出單調性；

（Ⅱ）不等式恒成立問題轉化為函數值不大于零的問題。對函數求導，然后分類討論，確定實數a的取值范圍。

解：（I）f′（x）=a（1-）=，（x＞0）．

當a＞0時，函數f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增．

當a＜0時，函數f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減．

當a=0時，函數f（x）=0（x＞0），不具有單調性．

（Ⅱ）對任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＜+x-1恒成立a（x-lnx）--x+1≤0，（*）

令g（x）=a（x-lnx）--x+1，（x＞0）．

g′（x）=a（1-）+-1=，

當a≤1時，∵x＞0，∴（a-1）x-1＜0，h′（x）＞00＜x＜1；h′（x）＜0x＞1．

∴h（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減．

∴h（x）≤h（1）=a-1，要使不等式（*）恒成立，則a-1＜0，即a＜1．

當a＞1時，h（1）=a-1＞0，不等式（*）不恒成立．

故實數a的取值范圍是（-∞，1）．