Question

已知函數f(x)=lnx+ax+1,a∈R.

(1)求f(x)在x=1處的切線方程.

(2)若不等式f(x)≤0恒成立,求a的取值范圍.

 

Answer 1

(1) y=(a+1)x (2) (-∞,-1]

【解析】(1)∵x>0,f'(x)=+a,

∴f'(1)=a+1,切點是(1,a+1),

所以切線方程為y-(a+1)=(a+1)(x-1),

即y=(a+1)x.

(2)方法一:∵x>0,f'(x)=.

①當a≥0時,x∈(0,+∞),f'(x)>0,f(x)單調遞增,顯然當x>1時,f(x)>0,f(x)≤0不恒成立.

②當a<0時,x∈(0,-),f'(x)>0,f(x)單調遞增,

x∈(-,+∞),f'(x)<0,f(x)單調遞減,

∴f(x)max=f(x)極大值=f(-)=ln(-)≤0,

∴a≤-1,

所以不等式f(x)≤0恒成立時,a的取值范圍是(-∞,-1].

方法二:∵x>0,所以不等式f(x)≤0恒成立,等價于ax≤-lnx-1,即a≤,

令h(x)=,

則h'(x)=-+=,

當x∈(0,1)時,h'(x)<0,h(x)單調遞減,

當x∈(1,+∞)時,h'(x)>0,h(x)單調遞增.

∴h(x)min=h(x)極小值=h(1)=-1,∴a≤-1.

所以不等式f(x)≤0恒成立時,a的取值范圍是(-∞,-1].