Question

已知a>0,函數f(x)=-2asin(2x+)+2a+b,當x∈[0,]時,-5≤f(x)≤1.

(1)求常數a,b的值.

(2)設g(x)=f(x+)且lg g(x)>0,求g(x)的單調區間.

 

Answer 1

(1) a=2,b=-5 (2) kπ+,kπ+),k∈Z

【解析】(1)∵x∈[0,],

∴2x+∈[,].

∴sin(2x+)∈[-,1],

∴-2asin(2x+)∈[-2a,a].

∴f(x)∈[b,3a+b].

又∵-5≤f(x)≤1,∴b=-5,3a+b=1,

因此a=2,b=-5.

(2)由(1)得a=2,b=-5,

∴f(x)=-4sin(2x+)-1,

g(x)=f(x+)=-4sin(2x+)-1

=4sin(2x+)-1,

又由lgg(x)>0得g(x)>1,

∴4sin(2x+)-1>1,

∴sin(2x+)>,

∴2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z,

其中當2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z時,g(x)單調遞增,即kπ<x≤kπ+,k∈Z.

∴g(x)的單調增區間為(kπ,kπ+],k∈Z.

又∵當2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z時,g(x)單調遞減,即kπ+<x<kπ+,k∈Z.

∴g(x)的單調減區間為(kπ+,kπ+),k∈Z.