Question

如圖所示，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點為F₁、F₂，短軸兩個端點為A、B．已知|

OB

|、|

F1B

|、

|F1F2

|成等比數列，|

F1B

|-

|F1F2

|=2，與x軸不垂直的直線l與C交于不同的兩點M、N，記直線AM、AN的斜率分別為k₁、k₂，且k₁•k₂=

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證直線l與y軸相交于定點，并求出定點坐標；
（Ⅲ）當弦MN的中點P落在四邊形F₁AF₂B內（包括邊界）時，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意可知

|OB|

和

|F1B|

，通過|

OB

|、|

F1B

|、

|F1F2

|成等比數列推斷出a²=2bc，進而根據a，b和c的關系求得a和b的關系，利用

F1B•

F1F2

=2求得b，則a可求，橢圓的方程可得．
（Ⅱ）設出直線l的方程，和M，N的坐標，把直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而利用k₁•k₂=

3

2

求得b，進而可求得直線l與y軸相交的點．
（III）由（Ⅱ）中的一元二次方程可求得判別式大于0求得k的范圍，設弦AB的中點P坐標則可分別表示出x₀和y₀，p點在x軸上方，只需位于三角形MF₁F₂內就可以，進而聯立不等式組，求得k的范圍．

解答：解：（Ⅰ）易知

|OB|

=b

|F1B|

=a、

|F1F2|

=2c（其中c=

a2-b2

），
則由題意知有a²=2bc．又∵a²=b²+c²，聯立得b=c．∴a=

2

b．
∵

|F1B|

•

|F1F2|

= 2，∴2accos45°=2
∴b²=1a²=2．
故橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+b，M、N坐標分別為M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）．
由

x2 2 +y2=1 y=kx+b

?（1+2k²）x²+4kbx+2b-2=0．
∴x2+x1=-

4kb

1+2k2

，x1x2=

2b2-2

1+2k2

．
∵k1=

y1+1

x1

，k2=

y2+1

x2

．
∴k1k2=

(k1+1+b)

x1

•

(kx2+1+b)

x2

=

k2x1x2+(1+b)k(x1+x2)+(1+b)2

x1x2

=

3

2

將韋達定理代入，并整理得

2k2(b-1)-4k2b+(1+2k2) (b+1)

b-1

=3，解得b=2．
∴直線l與y軸相交于定點（0，2）．

（III）由（Ⅱ）中（1+2k²）x²+8kx+6=0，其判別式△＞0，得k2＞

3

2

．①
設弦AB的中點P坐標為（x₀，y₀），則x0=-

4kb

1+2k2

，y₀=k₀+2=

2

1+2k2

＞0，
∴p點在x軸上方，只需位于三角形MF₁F₂內就可以，即滿足

y0≤x0+1 y0≤-x0+1

將坐標代入，整理得

2k2-4k+1≥0 2k2+4k+1≥0

解得

k≥1+ 6 2 或k≤1- 6 2 k≥-1+ 6 2 或 K≤-1- 6 2

②
由①②得所求范圍為k≥1+

6?

2

或K≤-1-

6?

2

．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生轉化與化歸思想的運用和基礎知識的熟練掌握．