Question

如圖所示，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

2

2

，左焦點為F₁（-1，0）右焦點為F₂（1，0），短軸兩個端點為A、B，與x軸不垂直的直線l與橢圓C交于不同的兩點M、N，記直線AM、AN的斜率分別為k₁，k₂，且k1k2=

3

2

．
（1）求橢圓C的方程；     
（2）求證直線l與y軸相交于定點，并求出定點坐標．

Answer 1

分析：（1）由焦點坐標可得c值，由離心率可得a值，據a，b，c關系可求得b；
（2）設直線l的方程為y=kx+b，M、N坐標分別為 M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯立直線方程與橢圓方程消掉y得x的二次方程，由韋達定理及斜率公式可用k，b表示出等式k1k2=

3

2

，由此可求得b值，進而可求得直線所過定點；

解答：解：（1）由題意可知：橢圓C的離心率e=

c

a

=

2

2

，且c=1，
∴b²=1，a²=2，
故橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）設直線l的方程為y=kx+b，M、N坐標分別為 M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

x2 2 +y2=1 y=kx+b

，得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0，
∴x₁+x₂=-

4kb

1+2k2

，x₁x₂=

2b2-2

1+2k2

，
∵k₁=

y1+1

x1

，k₂=

y2+1

x2

．
∴k₁k₂=

kx1+1+b

x1

•

kx2+1+b

x2

=

k2x1x2+(1+b)k(x1+x2)+(1+b)2

x1x2

=

3

2

，
將韋達定理代入，并整理得

2k2(b-1)-4k2b+(1+2k2)(b+1)

b-1

=3，即

b+1

b-1

=3，解得b=2．
∴直線l與y軸相交于定點（0，2）；

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生轉化與化歸思想的運用和基礎知識的熟練掌握．