Question

已知半橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（y≥0，a＞b＞0）和半圓x²+y²=b²（y≤0）組成的曲線C如圖所示．曲線C交x軸于點A，B，交y軸于點G，H，點M是半圓上異于A，B的任意一點，當點M位于點（

6

3

，-

3

3

）時，△AGM的面積最大，則半橢圓的方程為

y2

2

+x2=1（y≥0）

．

Answer 1

分析：由點M（

6

3

，-

3

3

）在半圓上，可求b，然后求出G，H，A，根據已知AGM的面積最大的條件可知，OM⊥AG，
即K_OM•K_AG=-1，代入可求a，進而可求橢圓方程

解答：解：由點M（

6

3

，-

3

3

）在半圓上，
所以b=1，
∵G（0，a），H（0，-a），A（-b，0）
而當點M位于（

6

3

，-

3

3

）時，△AGM的面積最大可知，OM⊥AG，
即K_OM•K_AG=-1，
∵

- 3 3

6 3

=-

2

2

，K_AG=

a

b

=a
∴-

2

2

•a═-1
∴a=

2

，b=1
所以半橢圓的方程為

y2

2

+x2=1（y≥0）
故答案為：

y2

2

+x2=1（y≥0）

點評：本題主要考查了橢圓方程的求解，直線的垂直與斜率關系的應用，解題的關鍵是靈活利用橢圓的性質