Question

【題目】已知橢圓：過點，、分別為橢圓C的左、右焦點且

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線平行于OP（O為原點），且與橢圓C交于兩點A、B，與直線x＝2交于點M（M介于A、B兩點之間）．

（I）當△PAB面積最大時，求的方程；

（II）求證：.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）（I）；（II）證明見解析.

【解析】

（1）由可得c的值，又橢圓過定點P可得a，b的關系，再由a，b，c的關系求出a，b的值，進而求出橢圓的C的方程；

（2）（I）求出OP的斜率，設直線的方程，然后與橢圓方程聯立，求出弦長AB，再求P到直線的距離，代入面積公式，由函數的單調性求出面積最大時的直線的方程；

（II）計算出直線PA，PB的斜率之和為0，可得PM為∠APB的角平分線，由角平分線的性質可證．

（1）因為，，

所以

所以，

由于橢圓過點，所以，，解得：，

所以橢圓的方程為：1；

（2）（I）因為

所以可設直線的方程為，設，，

聯立直線與橢圓的方程，整理可得，

，即，

，，

所以弦長，

P到直線AB的距離為：，

所以，

當且僅當取等號，由M介于A、B之間可得

這時直線的方程為；

（II），

將，，，代入可得，

所以直線PA，PB關于直線x＝2對稱，即PM為∠APB的角平分線，

由角平分線的性質可得，

即證得：