Question

【題目】已知橢圓： 的離心率為，橢圓的四個頂點圍成的四邊形的面積為4.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）直線與橢圓交于， 兩點， 的中點在圓上，求（為坐標原點）面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.

（Ⅱ）1.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意知， ，得， ，代入橢圓的方程，再由橢圓的四個頂點圍成的四邊形的面積得，求得的值，即可得到橢圓的方程；

（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，得到，

當直線的斜率存在時，設: ，聯立方程組，求得，求得中點的坐標，代入圓的方程，得，再由弦長公式和點到直線的距離公式，即可得到的表達式，即可求解面積的最大值．

試題解析：

（Ⅰ）由題意知，得， ，

所以，

由橢圓的四個頂點圍成的四邊形的面積為4，得，

所以， ，橢圓的標準方程為.

（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，

令，得， ，

當直線的斜率存在時，設: ， ， ， ，

由，得，

則， ，

所以， ，

將代入，得，

又因為 ，

原點到直線的距離，

所以

.

當且僅當，即時取等號.

綜上所述， 面積的最大值為1.