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【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在極坐標系中，曲線的極坐標方程為,以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的參數方程為（t為參數).

（1）寫出曲線的參數方程和直線的普通方程；

（2）已知點是曲線上一點，，求點到直線的最小距離.

【答案】(1) ,（為參數） (2)

【解析】

試題分析：（1）根據，把曲線的極坐標方程轉化為直角坐標方程，進而得到曲線的參數方程；根據代入消參法，把直線的參數方程轉化為普通方程；

（2）設曲線上任意一點為，則點到直線的距離，

利用余弦型函數的有界性求最值即可.

試題解析：

(1)由曲線的極坐標方程得：，∴曲線的直角坐標方程為: ，

曲線的參數方程為,（為參數）；直線的普通方程為： .

(2)設曲線上任意一點為，則

點到直線的距離為

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【題目】在平面直角坐標系中，經過點且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點和．

（1）求的取值范圍；

（2）設橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為，是否存在常數，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請說明理由．

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【題目】某中學為研究學生的身體素質與課外體育鍛煉時間的關系，對該校200名學生的課外體育鍛煉平均每天運動的時間(單位：分鐘)進行調查，將收集的數據分成，，，，，六組，并作出頻率分布直方圖(如圖)，將日均課外體育鍛煉時間不低于40分鐘的學生評價為“課外體育達標”．

(1)請根據直方圖中的數據填寫下面的2×2列聯表，并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“課外體育達標”與性別有關？

	課外體育不達標	課外體育達標	合計
男	60
女			110
合計

(2)現按照“課外體育達標”與“課外體育不達標”進行分層抽樣，抽取8人，再從這8名學生中隨機抽取3人參加體育知識問卷調查，記“課外體育不達標”的人數為X，求X的分布列和數學期望．參考公式：

P(K2≥k0)	0.15	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

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【題目】已知橢圓的左焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，為坐標原點.

（1）若的斜率為，為的中點，且的斜率為，求橢圓的方程；

（2）連結并延長，交橢圓于點，若橢圓的長半軸長是大于的給定常數，求的面積的最大值．

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（1）求圖中的值；

（2）估計該校擔任班主任的教師月平均通話時長的中位數；

（3）在，這兩組中采用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求抽取的2人恰在同一組的概率.

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【題目】環境問題是當今世界共同關注的問題，我國環保總局根據空氣污染指數溶度，制定了空氣質量標準：

某市政府為了打造美麗城市，節能減排，從2010年開始考查了連續六年11月份的空氣污染指數，繪制了頻率分布直方圖，經過分析研究，決定從2016年11月1日起在空氣質量重度污染和嚴重污染的日子對機動車輛限號出行，即車牌尾號為單號的車輛單號出行，車牌尾號為雙號的車輛雙號出行（尾號為字母的，前13個視為單號，后13個視為雙號）．王先生有一輛車，若11月份被限行的概率為0.05．