Question

【題目】已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標是整數，且與直線4x+3y﹣29=0相切．
（Ⅰ）求圓的方程；
（Ⅱ）設直線ax﹣y+5=0（a＞0）與圓相交于A，B兩點，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，是否存在實數a，使得弦AB的垂直平分線l過點P（﹣2，4），若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設圓心為M（m，0）（m∈Z）．
由于圓與直線4x+3y﹣29=0相切，且半徑為5，
所以 ，
即|4m﹣29|=25．因為m為整數，故m=1．
故所求圓的方程為（x﹣1）2+y2=25．
（Ⅱ）把直線ax﹣y+5=0，即y=ax+5，
代入圓的方程，消去y，
整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，
由于直線ax﹣y+5=0交圓于A，B兩點，
故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，
即12a2﹣5a＞0，
由于a＞0，解得a＞ ，
所以實數a的取值范圍是（ ）．
（Ⅲ）設符合條件的實數a存在，
則直線l的斜率為 ，
l的方程為 ，
即x+ay+2﹣4a=0
由于l垂直平分弦AB，故圓心M（1，0）必在l上，
所以1+0+2﹣4a=0，解得 ．
由于 ，故存在實數
使得過點P（﹣2，4）的直線l垂直平分弦AB．
【解析】（Ⅰ）設圓心為M（m，0）（m∈Z）．由于圓與直線4x+3y﹣29=0相切，且半徑為5，所以 ，由此能求了圓的方程．（Ⅱ）把直線ax﹣y+5=0代入圓的方程，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，由于直線ax﹣y+5=0交圓于A，B兩點，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，由此能求出實數a的取值范圍．（Ⅲ）設符合條件的實數a存在，則直線l的斜率為 ，l的方程為 ，由于l垂直平分弦AB，故圓心M（1，0）必在l上，由此推導出存在實數 使得過點P（﹣2，4）的直線l垂直平分弦AB．
【考點精析】利用圓的標準方程對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知圓的標準方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程．