Question

已知a，b，c∈R^*，證明：
（1）（a+b+c）（a²+b²+c²）≤3（a³+b³+c³）；
（2）

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

≥

3

2

．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：高考數學專題

分析：第（1）問考慮左邊展開與右邊可抵消一個a²+b²+c²，想到作差比較，項較多，可重新分組進行因式分解；第（2）可通過構造柯西不等式放縮，獲取定值．

解答： 證明：（Ⅰ）右邊-左邊，得3（a³+b³+c³）-（a+b+c）（a²+b²+c²）
=2（a³+b³+c³）-a（b²+c²）-b（a²+c²）-c（a²+b²）．
∵a，b∈R^*，∴a³+b³-a²b-ab²=a²（a-b）+b²（b-a）=（a-b）²（a+b）≥0．
∴a³+b³≥a²b+ab²，
    同理，b³+c³≥b²c+bc²，a³+c³≥a²c+ac²，
    以上三式相加得=2（a³+b³+c³）≥a²b+ab²+b²c+bc²+a²c+ac，
∴2（a³+b³+c³）-a（b²+c²）-b（a²+c²）-c（a²+b²）≥0，
∴（a+b+c）（a²+b²+c²）≤3（a³+b³+c³）．      
   （Ⅱ）∵a，b，c∈R^*，∴a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，
    由柯西不等式得）[（a+b）+（b+c）+（c+a）](

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

)
≥(

a+b

•

1

a+b

+

b+c

•

1

b+c

+

c+a

•

1

c+a

)²=9，
    即2（a+b+c）（

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

）≥9，
∴2（

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

）≥3，故

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

≥

3

2

，
    當且僅當a=b=c時，不等式取等號．

點評：本題的兩小問設置合理，主要考查了不等式的基本性質及變形技巧，作差比較法，柯西不等式等．