Question

已知函數（為實數，），，⑴若，且函數的值域為，求的表達式；
⑵設，且函數為偶函數，判斷是否大0？
⑶設，當時，證明：對任意實數，(其中是的導函數) ．

Answer 1

（1），（2）成立，（3）證明略.

試題分析：（1）由于的表達式與有關，而確定的表達式只需求出待定系數，因此只要根據題目條件聯立關于的兩個關系即可；（2）由為偶函數可先確定，而可不妨假設，則，代入的表達式即可判斷的符號；（3）原不等式證明等價于證明“對任意實數，” 即等價于證明“ ”，可先證，再證.根據不等式性質，可證得.
試題解析：⑴因為，所以，因為的值域為，所以，所以，所以，所以；
⑵因為是偶函數，所以，又，所以，因為，不妨設，則，又，所以，此時，所以；
⑶因為，所以，又，則，因為，所以，則原不等式證明等價于證明“對任意實數，” 即 .
先研究 ，再研究.
① 記，，令，得，當，時，單增；當，時，單減. 所以，，即.
② 記，，所以在,單減，所以，，即.
綜上①、②知，.
即原不等式得證，對任意實數，.