Question

已知函數(shù)在處的切線方程為.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)的值;
(3)數(shù)列滿足，，求的整數(shù)部分.

Answer 1

（1）；（2）或；（3）.

試題分析：（1）由題意可得，又根據(jù)在處的切線方程為，故可從切線斜率與切點(diǎn)建立關(guān)于的方程組，可解得，從而；（2）由（1）及方程，參變分離后可得：，因此問(wèn)題就等價(jià)于求使恰有兩個(gè)不同的，滿足的的值，令，
可得，從而當(dāng)時(shí)，取極小值，當(dāng)時(shí)，取極大值，因此可以大致畫(huà)出的示意圖，而問(wèn)題則進(jìn)一步等價(jià)于直線與的圖像恰有兩個(gè)交點(diǎn)，通過(guò)示意圖易得當(dāng)或時(shí)滿足題意；（3）通過(guò)題意可知，需求得的值夾在哪兩個(gè)整數(shù)之間，由（1），可得，因此，而，
∴，∴，而將遞推公式可進(jìn)一步變形為，從而
，
又有，從而的整數(shù)部分為.
試題解析：（1）∵，∴, 由題意在處的切線方程為，則，∴；
（2）由（1），∴即，∴，因此問(wèn)題即等價(jià)于存恰有兩個(gè)不同的，使，令，則，∴在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，取極小值，當(dāng)時(shí)，取極大值，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此可畫(huà)出函數(shù)的大致示意圖如下，而問(wèn)題就等價(jià)于直線與的圖像恰有兩個(gè)交點(diǎn)，

故要存在兩個(gè)不同的滿足，則需或.
（3）由（1），∴，∴
又∵，∴，
∴
由,得,∴,
即，
∴
，又∵， 
綜上，，∴的整數(shù)部分為.