Question

已知函數f(x)＝＋a，g(x)＝aln x－x(a≠0)．
(1)求函數f(x)的單調區間；
(2)求證：當a>0時，對于任意x₁，x₂∈，總有g(x₁)<f(x₂)成立．

Answer 1

（1）當a>0時，f(x)的單調遞增區間為(－1，1)，單調遞減區間為(－∞，－1)，(1，＋∞)；當a<0時，f(x)的單調遞增區間為(－∞，－1)，(1，＋∞)，單調遞減區間為(－1，1)．（2）見解析

(1)函數f(x)的定義域為R，
f′(x)＝.
當a>0時，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，－1)	－1	(－1，1)	1	(1，＋∞)
f′(x)	－	0	＋	0	－
f(x)	↘		↗		↘

當a<0時，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，－1)	－1	(－1，1)	1	(1，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	↗		↘		↗

綜上所述，當a>0時，f(x)的單調遞增區間為(－1，1)，單調遞減區間為(－∞，－1)，(1，＋∞)；當a<0時，f(x)的單調遞增區間為(－∞，－1)，(1，＋∞)，單調遞減區間為(－1，1)．
(2)證明：由(1)可知，當a>0時，f(x)在(0，1)上單調遞增，f(x)在(1，e]上單調遞減，且f(e)＝＋a>a＝f(0)．
所以x∈(0，e]時，f(x)>f(0)＝a.
因為g(x)＝aln x－x，所以g′(x)＝－1，
令g′(x)＝0，得x＝a.
①當0<a<e時，由g′(x)>0，得0<x<a；由g′(x)<0，得x>a，所以函數g(x)在(0，a)上單調遞增，在(a，e]上單調遞減，
所以g(x)_max＝g(a)＝aln a－a.
因為a－(aln a－a)＝a(2－ln a)>a(2－ln e)＝a>0，
所以對于任意x₁，x₂∈(0，e]，總有g(x₁)<f(x₂)．
②當a≥e時，g′(x)≥0在(0，e]上恒成立，
所以函數g(x)在(0，e]上單調遞增，g(x)_max＝g(e)＝a－e<a，
所以對于任意x₁，x₂∈(0，e]，仍有g(x₁)<f(x₂)．
綜上所述，對于任意x₁，x₂∈(0，e]，總有g(x₁)<f(x₂)．