Question

（2012•杭州二模）設定義域為（0，+∞）的單調函數f（x），對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂^x]=6，若x₀是方程f（x）-f′（x）=4的一個解，且x₀∈（a，a+1）（a∈N^*），則a=

1

．

Answer 1

分析：由題意可得f（x）-log₂x為定值，設為t，代入可得t=4，進而可得函數的解析式，化方程有解為函數F（x）=f（x）-f′（x）-4=log₂x-

1

xln2

有零點，易得F（1）＜0，F（2）＞0，由零點的判定可得答案．

解答：解：根據題意，對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=6，
又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調函數，
則f（x）-log₂x為定值，
設t=f（x）-log₂x，則f（x）=t+log₂x，
又由f（t）=6，可得t+log₂t=6，
可解得t=4，故f（x）=4+log₂x，f′（x）=

1

xln2

，
又x₀是方程f（x）-f′（x）=4的一個解，
所以x₀是函數F（x）=f（x）-f′（x）-4=log₂x-

1

xln2

的零點，
分析易得F（1）=-

1

ln2

＜0，F（2）=1-

1

2ln2

=1-

1

ln4

＞0，
故函數F（x）的零點介于（1，2）之間，故a=1，
故答案為：1

點評：本題考查函數的零點的判斷，涉及導數的運算和性質，屬中檔題．