Question

（2012•杭州二模）雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0， b＞0)的左、右焦點分別為F₁，F₂，漸近線分別為l₁，l₂，點P在第一 象限內且在l₁上，若l₂⊥PF₁，l₂∥PF₂，則雙曲線的離心率是（　　）

• A．

  5

• B．2
• C．

  3

• D．

  2

Answer 1

分析：由雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0， b＞0)的左、右焦點分別為F₁，F₂，漸近線分別為l₁，l₂，點P在第一 象限內且在l₁上，知F₁（-c，0）F₂（c，0）P（x，y），由漸近線l₁的直線方程為y=

b

a

x，漸近線l₂的直線方程為y=-

b

a

x，l₂∥PF₂，知ay=bc-bx，由ay=bx，知P（

c

2

，

bc

2a

），由此能求出離心率．

解答：解：∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0， b＞0)的左、右焦點分別為F₁，F₂，
漸近線分別為l₁，l₂，點P在第一 象限內且在l₁上，
∴F₁（-c，0）F₂（c，0）P（x，y），
漸近線l₁的直線方程為y=

b

a

x，漸近線l₂的直線方程為y=-

b

a

x，
∵l₂∥PF₂，∴

y

x-c

=-

b

a

，即ay=bc-bx，
∵點P在l₁上即ay=bx，
∴bx=bc-bx即x=

c

2

，∴P（

c

2

，

bc

2a

），
∵l₂⊥PF₁，
∴

bc 2a

3c 2

•(-

b

a

)=-1，即3a²=b²，
因為a²+b²=c²，
所以4a²=c²，即c=2a，
所以離心率e=

c

a

=2．
故選B．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意直線和雙曲線位置關系的靈活運用．