Question

【題目】已知橢圓：（）．下面表格所確定的點中，恰有三個點在橢圓上．

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（1）求橢圓的方程；

（2）已知為坐標原點，點，分別為的上下頂點，直線經過的右頂點，且與的另一個公共點為，直線，相交于點，若與軸的交點異于，，證明為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）點和點關于原點對稱，此兩點必在橢圓上，故有，將剩余兩個點的坐標代入橢圓方程可得關于a與b的方程，與上式聯立通過判斷解的情況即可判斷出那個點在橢圓上，進而求出方程；

（2）設直線l的方程為：，由題易得 ，聯立直線l與橢圓E的方程得：，由韋達定理得到和的表達式，

設點，直線AC的方程為：，直線BD的方程為：，

聯立直線AC的方程和直線BD的方程得到點N的坐標，進而求出向量，

而，即可證明為定值．

（1）點和點關于原點對稱，此兩點必在橢圓上，

故有①，

將點代入中得，，解得：，

再將代入①中得：，解得：；

再將點代入中得，②，聯立①②得：，顯然無解；

綜上，，，所以橢圓的方程為：；

（2）由題意作圖如下：

設直線l的方程為：，由條件知：，點，點，點，

則點，向量，

設點，

聯立直線l與橢圓E的方程，消去y得：，

所以，

直線AC的方程為：③，

直線BD的方程為：④，

設點，由③④，得：，

又點在直線l上，所以：

，

則向量，

所以，

故為定值.