Question

【題目】已知公差不為零的等差數列{an}的前n項和為Sn，S3＝15，a1，a4，a13成等比數列.

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）求數列的前n項和Tn大于2020的最小自然數n.

Answer 1

【答案】（1）an＝2n+1；（2）10.

【解析】

（1）設等差數列{an}的公差為d（d≠0），由題設條件列出d的方程，解出d，a1，求出通項公式；

（2）由（1）求得a，再使用分組求和求出Tn，研究其單調性，求出滿足Tn大于2020的最小自然數n.

（1）設等差數列{an}的公差為d（d≠0），則S3＝3a115，

∴a1+d＝5，a4＝5+2d，a13＝5+11d，

∵a1，a4，a13成等比數列，

∴（5+2d）2＝（5d）（5+11d），解得d＝0（舍去）或d＝2，

故a1＝5d＝3.

所以an＝3+（n1）×2＝2n+1.

（2）根據（1）知a2（2nn）+1＝2n+1（2n1），

∴Tn＝（22+23+…+2n+1） [1+3+…+（2n1）]2n+2n24.

∵2nn＞0，

∴a2（2nn）+1＞0，

∴Tn單調遞增，

又∵T9＜2020，T10＞2020，

所以Tn大于2020的最小自然數n為10.

【點晴】

本題主要考查等差數列基本量的運算，數列的分組求和，數列的單調性，屬于中檔題.