Question

【題目】已知數(shù)列的前項和，數(shù)列滿足.

（1）證明：是等比數(shù)列，并求；

（2）若數(shù)列中去掉與數(shù)列中相同的項后，余下的項按原順序排列成數(shù)列，求的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)所給等式，先求得，再利用作差法可得，兩邊同時加1，可構(gòu)造等比數(shù)列即可證明；利用等比數(shù)列通項公式求法，即可得.

（2）根據(jù)所給等式，先求得數(shù)列的通項公式，再找出數(shù)列與數(shù)列中重復的6項，可知的前50項即為數(shù)列的前56項和減去數(shù)列的前6項和.

（1）證明:由當時，代入可得,

解得，

因為，，

所以，

從而由，

所以，

所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列.

故.

（2）由題意，，

，，

所以，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列.

則，

又因為，，，，，，，

，，

所以

.