Question

（2011•松江區二模）已知函數①f（x）=lnx；②f（x）=cosx；③f（x）=e^x；④f（x）=e^cosx．其中對于f（x）定義域內的任意一個x₁都存在唯一個x₂，使f（x₁）f（x₂）=1成立的函數是

③

．（寫出所有滿足條件的函數的序號）

Answer 1

分析：由題意知若使得f（x₁）f（x₂）=1成立的函數一定是單調函數，②④不是單調函數，不合題意．因為對于函數f（x）=lnx當x₁=1時，不存在x₂使得f（x₁）f（x₂）=1成立．得到結果．

解答：解：由題設知，對于f（x）定義域內的任意一個自變量x₁，
存在定義域內的唯一一個自變量x₂，
使得f（x₁）f（x₂）=1成立的函數一定是單調函數，②④不是單調函數，不合題意．
因為對于函數f（x）=lnx當x₁=1時，不存在x₂使得f（x₁）f（x₂）=1成立，
∴由此可知，滿足條件的函數有③．
故答案為：③．

點評：本題考查函數的單調性及函數的特殊點的值，本題解題的關鍵是看出函數的單調性，并且注意函數自變量特殊值的性質，本題是一個中檔題目．