Question

（2011•松江區(qū)二模）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=

π

2

，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，沿EF將梯形ABCD翻折，使AE⊥平面EBCF（如圖）．設(shè)AE=x，四面體DFBC的體積記為f（x）．
（1）寫出f（x）表達(dá)式，并求f（x）的最大值；
（2）當(dāng)x=2時，求二面角D-BF-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由于四面體DFBC為三棱錐故可利用三棱錐的體積公式求出其體積的表達(dá)式由于AD∥面EBFC且AE⊥平面EBCF故三棱錐D-BFC的高為AE的長，又三角形FBC的面積可由

1

2

BC×BE求出從而求出四面體DFBC的體積f（x）的表達(dá)式然后再結(jié)合函數(shù)的特性求其最大值即可．
（2）可利用空間向量求解．根據(jù)條件可得AE⊥EF，AE⊥BE，BE⊥EF故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系然后求出面DBF和面EBF的法向量則兩個法向量的夾角即為二面角的平面角然后利用向量夾角公式即可求出二面角D-BF-E的余弦值．

解答：解：（1）∵AE⊥平面EBCF
過D作DH∥AE，則DG=AE，且DH⊥平面EBCF
所以 f（x）=V_D-BFC=

1

3

×S△BFC×DG=

1

3

×

1

2

×4×(4-x)×x=-

2

3

(x-2)2+

8

3

≤

8

3

即x=2時f（x）有最大值為

8

3

（2）∵AE⊥面平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，
故可如圖建立空間坐標(biāo)系E-xyz
則A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）
設(shè)平面DBF的法向量為

n1

=(x，y，z)
∵AE=2，B（2，0，0），D（0，2，2），F(xiàn)（0，3，0）
∴

BF

=(-2，3，0)，

BD

=（-2，2，2）
則

n • BD =0 n • BF =0

即

(x，y，z)•(-2，2，2)=0 (x，y，z)•(-2，3，0)=0

，

-2x+2y+2z=0 -2x+3y=0

取x=3，則y=2，z=1
∴

n1

=(3，2，1)
平面BCF的一個法向量為

n2

=(0，0，1)
記此二面角的平面角為θ，則cosθ=

n1 • n2

|n1||n2|

=

1

14

=

14

14

所以此二面角的余弦值為

14

14

點評：本題主要考察了三棱錐體積和二面角的求解．解題的關(guān)鍵是在求三棱錐體積時主要是高的求解這要充分分析題中條件找到高或‘等價的高'而對于二面角的求解可采用空間向量的方法即求出二面角的兩個半平面的法向量然后利用向量的夾角公式求出法向量的夾角的余弦值再結(jié)合圖形特征和法向量的夾角的余弦值的正負(fù)得出二面角的大小是法向量的夾角還是其補(bǔ)角，但此法計算量較大，因此在以后的學(xué)習(xí)中要加強(qiáng)計算能力的訓(xùn)練！