Question

一自來水廠擬建一座平面圖形為矩形、面積為200平方米的凈水處理池，該池的深度為1米，池的四周內壁建造單價為每平方米400元，池底建造單價為每平方米60元，在該水池長邊的正中間設置一個隔層，將水池分成左右兩個小水池，該隔層建造單價為每平方米100元，池壁厚度忽略不計.
（1）凈水池的長度設計為多少米時，可使總造價最低？
（2）如長寬都不能超過14.5米，那么此凈水池的長為多少時，可使總造價最低？

Answer 1

（1）設水池的長為x米，則寬為米.      …………（1分）
總造價：
         …………（4分）

                      …………（6分）
當且僅當時，等號成立，
故當凈水池的長為15米時，總造價最低.  ……（7分）
（2）由已知，長不能超過14.5米，而15>14.5，故長度值取不到15，從而不能利用基本不等式求最值，轉而考慮利用函數的單調性.
考慮條件          …………（8分）
設，利用函數單調性，
易知上為減函數，…………（11分）
因此，當時，=36013.8元，故當米時，總造價最低. ………（13分）

略