Question

在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為“格點(diǎn)”，如果函數(shù)f（x）的圖象恰好通過(guò)k（k∈N^*）個(gè)格點(diǎn)，則稱函數(shù)f（x）為“k階格點(diǎn)函數(shù)”．下列函數(shù)中是“一階格點(diǎn)函數(shù)”的有

 

①f（x）=|x|；②f(x)=

2

(x-1)2+3；③f(x)=(

1

2

)x-2；④f(x)=log

1

2

(x+1)  ⑤f(x)=

1

x-1

．

Answer 1

分析：由定義對(duì)四個(gè)函數(shù)逐一驗(yàn)證，找出只有一個(gè)整數(shù)點(diǎn)的函數(shù)即可，①中f（k）=k（k∈N^*）；②中的函數(shù)只有當(dāng)x=1時(shí)才是格點(diǎn)；③中的函數(shù)可以驗(yàn)證橫坐標(biāo)為1，2時(shí)，f（x）均為整數(shù)，④中的函數(shù)驗(yàn)證x=0，x=1時(shí)，取到整點(diǎn)；⑤中的函數(shù)驗(yàn)證x=0，x=2即可排除．

解答：解：①中，∵當(dāng)x=k時(shí)，f（k）=k（k∈N^*），
∴f（x）=|x|不為“一階格點(diǎn)”函數(shù)，故①錯(cuò)誤；
②中，∵x=1時(shí)，f（x）=3．當(dāng)x≠0，x∈Z時(shí)，f（x）均為非整數(shù)，
故f（x）=

2

（x-1）²+3只有（1，3）一個(gè)格點(diǎn)，
故函數(shù)為“一階格點(diǎn)”函數(shù)，故②正確；
③中，∵x=1時(shí)，f（x）=2，x=2時(shí)，f（x）=1，
故f(x)=(

1

2

)x-2不為“一階格點(diǎn)”函數(shù)，故③錯(cuò)誤；
④中，∵x=0時(shí)，f（x）=0，
當(dāng)x=1，時(shí)，f（x）=-1，
故f(x)=log

1

2

(x+1) 不為“一階格點(diǎn)”函數(shù)，故④錯(cuò)誤；
⑤中，∵x=0時(shí)，f（x）=-1，
當(dāng)x=2，時(shí)，f（x）=1，
故f(x)=

1

x-1

不為“一階格點(diǎn)”函數(shù)，故⑤錯(cuò)誤．
故答案為：②．

點(diǎn)評(píng)：這是一道新運(yùn)算類的題目，其特點(diǎn)一般是“新”而不“難”，處理的方法一般為：根據(jù)新運(yùn)算的定義，將已知中的數(shù)據(jù)代入進(jìn)行運(yùn)算，易得最終結(jié)果．