Question

16．將一張邊長(zhǎng)為12cm的正方形紙片按如圖（1）所示陰影部分裁去四個(gè)全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線折疊并拼成一個(gè)有底的正四棱錐模型，如圖（2）所示放置．如果正四棱錐的主視圖是等邊三角形，如圖（3）所示，則正四棱錐的體積是（　　）

• A． $\frac{32}{3}$$\sqrt{6}$cm³
• B． $\frac{64}{3}$$\sqrt{6}$cm³
• C． $\frac{32}{3}$$\sqrt{2}$cm³
• D． $\frac{64}{3}$$\sqrt{2}$cm³

Answer 1

分析 由題意可得：設(shè)裁去四個(gè)全等的等腰三角形的底邊邊長(zhǎng)為x，則圖（2）中的底面正方形的邊長(zhǎng)=$\frac{12-x}{2}×\sqrt{2}$，又圖（3）中的等邊三角形的邊長(zhǎng)=$6\sqrt{2}$-$\frac{12-x}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}（12+x）}{4}$．利用$\frac{\sqrt{2}}{2}$（12-x）=$\frac{\sqrt{2}（12+x）}{4}$．解得x，再利用體積計(jì)算公式即可得出．

解答 解：由題意可得：設(shè)裁去四個(gè)全等的等腰三角形的底邊邊長(zhǎng)為x，則圖（2）中的底面正方形的邊長(zhǎng)=$\frac{12-x}{2}×\sqrt{2}$，又圖（3）中的等邊三角形的邊長(zhǎng)=$6\sqrt{2}$-$\frac{12-x}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}（12+x）}{4}$．
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$（12-x）=$\frac{\sqrt{2}（12+x）}{4}$．
解得x=4．
∴正四棱錐的體積=$\frac{1}{3}×（4\sqrt{2}）^{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}×4\sqrt{2}$=$\frac{64\sqrt{6}}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、三視圖、正四棱錐、等邊三角形的性質(zhì)、體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．