Question

【題目】已知數列的首項為1，各項均為正數，其前項和為，,.

（1）求,的值;

（2）求證：數列為等差數列；

（3）設數列滿足，，求證：.

Answer 1

【答案】(1),;(2)證明見解析;(3)證明見解析.

【解析】

(1)令 即可求出,的值;

(2)由得兩式相減進行整理可得,即可證明為等差數列.

(3)由(2)可知,兩式相減整理得,則當時,,通過放縮即可證明; 當時,.從而可證.

解:(1)令得,,又,解得;

令得,,即,從而.

(2)因為 ①;所以 ②

①-②得,.因為數列的各項均為正數,所以.

從而.

去分母得,

化簡并整理得,,即,

所以.所以數列為等差數列.

(3)由(2)知, ③.當時,,又,所以.

由③知, ④.③-④得,

即,依題意,,所以.

當時,

,當時,,原不等式也成立.

綜上得,.