【題目】在四棱錐
中，平面
平面
，平面
平面.
（Ⅰ）證明：
平面；
（Ⅱ）若底面為矩形，
，
為
的中點，
，求直線
與平面
所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）
.
【解析】
試題（Ⅰ）由題意
平面
，得到所以
，同理可證
，利用線面垂直的判定定理，即可證得
平面
；
（Ⅱ）分別以
、
、
所在方向為
軸、
軸、
軸的正方向，建立空間直角坐標系
，求得向量
和平面
的一個法向量為
，利用向量的夾角公式，即可求解直線與平面所成的角的正弦值.
試題解析：
（Ⅰ）證法1：在平面內過點
作兩條直線
，
，
使得
，
.
因為
，所以，為兩條相交直線.
因為平面
平面，平面
平面
，
平面，，所以平面.所以.同理可證.又因為平面，
平面，
，所以平面.
證法2：在平面內過點
作，在平面
內過點作.
因為平面平面，平面平面，平面，，所以平面.同理可證
平面.而過點作平面的垂線有且僅有一條，所以與重合.所以平面.所以，直線為平面與平面的交線.所以，直線與直線
重合.所以平面.
（Ⅱ）如圖，分別以、、所在方向為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標系
.設
，則
，
，
，
，
，
.
由
為
的中點，得
；由
，得
.所以
，
，
.設平面的一個法向量為
，
則
，即
.取
，則
，
.所以
.
所以
.
所以，直線
與平面所成角的正弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
．
（1）求函數
的對稱軸方程；
（2）將函數
的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長為原來的2倍，然后再向左平移
個單位，得到函數
的圖象．若
， 
， 
分別是
△三個內角
， 
， 
的對邊， 
， 
，且
，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公園欲將一塊空地規劃成如圖所示的區域，其中在邊長為20米的正方形
內種植經紅色郁金香，在正方形
的剩余部分（即四個直角三角形內）種植黃色郁金香．現要在以
為邊長的矩形
內種植綠色草坪，要求綠色草坪的面積等于黃色郁金香的面積．設
，
米．
（1）求
與
之間的函數關系式；
（2）求
的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】網絡游戲要實現可持續發展，必須要發展綠色網游.為此，國家文化部將從內容上對網游作出強制規定，國家信息產業部還將從技術上加強對網游的強制限制，開發限制網癮的疲勞系統，現已開發的“游戲防沉迷系統”規則如下：
①
小時以內（含小時）為健康時間，玩家在這段時間內獲得的累積經驗值
（單位：
）與游戲時間
（小時）滿足關系式：
（
為常數）；
②小時到
小時（含小時）為疲勞時間，玩家在這段時間內獲得的經驗值為
（即累積經驗值不變）；
③超過小時為不健康時間，累積經驗值開始損失，損失的經驗值與不健康時間成正比例關系，比例系數為
.
（1）當
時，寫出累積經驗值與游戲時間的函數關系式
，并求出游戲
小時的累積經驗值；
（2）定義“玩家愉悅指數”為累積經驗值與游戲時間的比值，記作
；若
，開發部門希望在健康時間內，這款游戲的“玩家愉悅指數”不低于
，求實數的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】從甲乙兩班各隨機抽取10名同學,如圖所示的莖葉圖記錄了這20名同學在2018年高考語文作文題目中的成績(單位:分).已知語文作文題目滿分為60分,“分數
分,為及格:分數
分,為高分”,若甲乙兩班的成績的平均分都是44分.
(1)求
,
的值;
(2)若分別從甲乙兩班隨機各抽取1名成績為高分的學生,求抽到的學生中,甲班學生成績高于乙班學生成績的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1，2，3，4.
（1）從袋中隨機抽取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；
（2）先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求
的概率
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知集合
，對于
的一個子集
，若存在不大于
的正整數
，使得對中的任意一對元素
、
，都有
，則稱具有性質
.
（1）當
時，試判斷集合
和
是否具有性質？并說明理由；
（2）當
時，若集合具有性質.
①那么集合
是否一定具有性質？并說明理由；
②求集合中元素個數的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知f（x）＝ax+ka﹣x（a＞0且a≠1）是R上的奇函數，且f（1）
．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若關于x的方程f（
1）+f（1﹣3mx﹣2）＝0在區間[0，1]內只有一個解，求m取值集合；
（3）是否存在正整數n，使不得式f（2x）≥（n﹣1）f（x）對一切x∈[﹣1，1]均成立？若存在，求出所有n的值若不存在，說明理由
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