Question

在拋物線y²=4x上求一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線y=x+3的距離最短．

Answer 1

解：該命題可轉(zhuǎn)化為求一條平行于y=x+3的直線y=x+b與拋物線y²=4x相切，
求出切點(diǎn)，此時點(diǎn)P到直線y=x+3的距離最短，
聯(lián)立方程
得x²+（2b-4）x+b²=0
令△=0，即（2b-4）²-4b²=0，∴b=1
故x=1，y=2，P為（1，2）
∴拋物線y²=4x上一點(diǎn)P（1，2），使得點(diǎn)P到直線y=x+3的距離最短．
分析：先設(shè)出與直線平行且與拋物線相切的直線y=x+b，與拋物線聯(lián)立消去x，根據(jù)判別式等于0求得b，則切線方程可得，進(jìn)而與拋物線方程聯(lián)立求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求得答案．
點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用．考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸的思想．