Question

在拋物線y²=4x上求一點P，使得點P到直線l：x-y+4=0的距離最短，并求最短距離．

Answer 1

分析：先設出與直線平行且與拋物線相切的直線，與拋物線聯立消去x，根據判別式等于0求得k，則切線方程可得，進而與拋物線方程聯立求得切點的坐標，進而根據點到直線的距離求得答案．

解答：解：設與直線l：x-y+4=0平行，且與拋物線y²=4x相切的直線為x-y+k=0．
由

x-y+k=0 y2=4x

，消x得y²-4y+4k=0．
∴△=4²-16k=0，解得k=1，即切線為x-y+1=0．
由

x-y+1=0 y2=4x

，解得點P（1，2）．
∴最短距離d=

|4-1|

12+12

=

3 2

2

．

點評：本題主要考查了拋物線的應用．考查了學生數形結合和轉化與化歸的思想．