Question

建造一個(gè)容積為6400立方米，深為4米的長方體無蓋蓄水池，池壁的造價(jià)為每平方米200元，池底的造價(jià)為每平方米100元．
（1）把總造價(jià)y元表示為池底的一邊長x米的函數(shù)；
（2）蓄水池的底邊長為多少時(shí)總造價(jià)最低？總造價(jià)最低是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）水池總造價(jià)函數(shù)為y=池底造價(jià)+池壁造價(jià)，代入整理即可；
（2）由（1）得出總造價(jià)函數(shù)，應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的定義研究其單調(diào)性，從而得出這個(gè)函數(shù)在（0，40]上是減函數(shù)，在[40，+∞）增函數(shù)，可求得函數(shù)的最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值．
解答：解：（1）由已知池底的面積為1600平方米，底面的另一邊長為米，--------（1分）
則池壁的面積為平方米．------------------------------------（3分）
所以總造價(jià)：（元），x∈（0，+∞）．-------------（5分）
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂，則
--（7分）
當(dāng)0＜x₁＜x₂≤40時(shí)，x₁-x₂＜0，，得y₁-y₂＞0，即 y₁＞y₂．----------（9分）
當(dāng)40＜x₁＜x₂時(shí)，x₁-x₂＜0，，得y₁-y₂＜0，即 y₁＜y₂．---（11分）
從而這個(gè)函數(shù)在（0，40]上是減函數(shù)，在[40，+∞）增函數(shù)，當(dāng)x=40時(shí)，y_min=288000．
所以當(dāng)池底是邊長為40米的正方形時(shí)，總造價(jià)最低為288000元．---------------（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，屬于基礎(chǔ)題．