Question

已知函數(shù)，其中常數(shù)a > 0．
(1) 當(dāng)a = 4時(shí)，證明函數(shù)f(x)在上是減函數(shù)；
(2) 求函數(shù)f(x)的最小值．

Answer 1

解：(1) 當(dāng)時(shí)，，利用“定義法”證明。
(2)

解析試題分析：
思路分析：(1) 當(dāng)時(shí)，，利用“定義法”證明。執(zhí)行“設(shè)、算、證、結(jié)”。
(2)應(yīng)用均值定理及“對號函數(shù)”的單調(diào)性，分，即和，即兩種情況討論得到：。
解：(1) 當(dāng)時(shí)，，
任取0<x₁<x₂≤2，則f(x₁)–f(x₂)=
因?yàn)?<x₁<x₂≤2，所以f(x₁)–f(x₂)>0，即f(x₁)>f(x₂)
所以函數(shù)f(x)在上是減函數(shù)；
(2)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
當(dāng)，即時(shí)，的最小值為，
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，
綜上所述：
考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性，“對號函數(shù)的性質(zhì)”，均值定理的應(yīng)用。
點(diǎn)評：中檔題，本題綜合性較強(qiáng)，研究函數(shù)的單調(diào)性，可以利用導(dǎo)數(shù)，也可以利用常見函數(shù)的單調(diào)性。應(yīng)用均值定理，要注意“一正，二定，三相等”。