Question

已知函數(shù)，其圖象為曲線,點為曲線上的動點，在點處作曲線的切線與曲線交于另一點，在點處作曲線的切線.
（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)點時，的方程為，求實數(shù)和的值；
（Ⅲ）設(shè)切線、的斜率分別為、，試問：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和；單調(diào)遞減區(qū)間是；（2），；（3）.

解析試題分析：（1）將代入到函數(shù)中，求導(dǎo)，解出的的取值范圍，從而能夠?qū)懗龊瘮?shù)的單增區(qū)間和單減區(qū)間；（2）將切點代入到函數(shù)表達(dá)式中，求出的關(guān)系，再將代入到中，求出最終的值；（3）設(shè)，寫出函數(shù)在處的切線，并與曲線聯(lián)立，得到關(guān)于的方程，再設(shè)，根據(jù)韋達(dá)定理表示出，再利用，得出，化簡成，則能夠得到，進(jìn)而能夠求出的值.
試題解析：（1）當(dāng)時，
則，解得或；
，解得
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和；單調(diào)遞減區(qū)間是.
（Ⅱ）由題意得，即，
解得 
∴實數(shù)和的值分別是和. 
（Ⅲ）設(shè)，則，
聯(lián)立方程組
由②代入①整理得 
設(shè)，則由韋達(dá)定理得，∴
由題意得；
假設(shè)存在常數(shù)使得，則，
即,∴，解得
所以當(dāng)時，存在常數(shù)使得；
當(dāng)時，不存在，使得 .          
考點：1.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，2.曲線的切線方程，3.函數(shù)存在性問題.