Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側面PAD⊥底面ABCD，且，若E、F分別為PC、BD的中點．

(Ⅰ)EF//平面PAD；

(Ⅱ)求證：平面PDC⊥平面PAD；

(Ⅲ)求二面角B－PD－C的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：連結，在中//　　2分 　　且平面，平面 　　∴　　4分 　　(Ⅱ)證明：因為面面平面面 　　所以，平面　　6分 　　又，所以是等腰直角三角形，且即　　8分 　　，且、面 　　面 　　又面面面　　10分 　　(Ⅲ)解：設的中點為，連結，，則 　　由(Ⅱ)知面， 　　面 　　是二面角的平面角　　12分 　　中， 　　故所求二面角的正切值為　　14分 　　另解：如圖，取的中點，連結， 　　∵，∴ 　　∵側面底面，， 　　∴， 　　而分別為的中點，∴，又是正方形，故 　　∵，∴， 　　以為原點，直線為軸建立空間直線坐標系，則有，，，，， 　　∵為的中點，∴ 　　(Ⅰ)易知平面的法向量為而， 　　且，∴//平面 　　(Ⅱ)∵，∴， 　　∴，從而，又，， 　　∴，而，∴平面平面 　　(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面的法向量為 　　設平面的法向量為∵， 　　∴由可得，令，則， 　　故 　　∴， 　　即二面角的余弦值為，二面角的正切值為．