Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，且PD=a，PA=PC=

2

a，
（1）求證：PD⊥平面ABCD；（2）求二面角A-PB-D的平面角的大小．

Answer 1

分析：（1）通過計算證明AD⊥PD．PD⊥CD．然后證明PD⊥平面ABCD
（2）取AP中點E，過E作EF⊥PB，垂足為F，∠DFE為所求，通過解三角形求出∠DFE=60°．

解答：證明：（1）AD2+PD2=a2+a2=PA2=(

2

a)2，由勾股定理，AD⊥PD.PD2+CD2=a2+a2=PC2=(

2

a)2，由勾股定理，PD⊥CD．∴PD⊥平面ABCD
（2）∵AB⊥AD，AB⊥PD，∴AB⊥平面PAD．
取AP中點E，由三垂線，∵DE⊥AP，∴DE⊥PB．
過E作EF⊥PB，垂足為F，則PB⊥平面DEF，∴PB⊥DF．
∴∠DFE為所求．DE=

2

2

a，EF=

2

2

a×

3

3

=

6

6

a，∴tan∠DFE=

3

．∴∠DFE=60°．

點評：本小題主要考查空間線面關系、二面角的度量等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．