Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AD=BC=2，對角線AC⊥BD于O，∠DAO=60°，且PO⊥平面ABCD，直線PA與底面ABCD所成的角為60°，M為PD上的一點．
（Ⅰ）證明：PD⊥AC；
（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大小．

Answer 1

分析：（I）根據直線PO與平面ABCD垂直得到線線垂直，根據三垂線定理可得；
（Ⅱ）過O作ON⊥PB于N，連接AN，根據定義可得∠ANO為二面角A-PB-D的平面角，在Rt△AON中求出此角即可．

解答：解：（I）∵PO⊥平面ABCD
∴DO為DP在平面ABCD內的射影
又AC⊥BD
∴AC⊥PD
（Ⅱ）過O作ON⊥PB于N，連接AN．
∵PO⊥平面ABCD，
又AO?平面ABCD，
∴PO⊥AO
由已知AO⊥BD，BD∩PO=O
∴AO⊥平面PBD．
∴ON為AN在平面PBD內的射影，
∴PB⊥AN．
∴∠ANO為二面角A-PB-D的平面角．
在Rt△AOD中，AO=1．
∵PO⊥平面ABCD，
∴OA為PA在底面ABCD內的射影
∴∠PAO為直線PA與底面ABCD所成的角，
∴∠PAO=60°
∴Rt△POA中，PO=

3

∵四邊形ABCD為等腰梯形
∴△ABD≌△BAC
∴∠ABD=∠BAC
∴OA=OB=1（8分）
在Rt△POB中，PB=2
∴ON=

PO•OB

PB

=

3 ×1

2

=

3

2

.
在Rt△AON中，tan∠ANO=

AO

ON

=

1

3 2

=

2 3

3

.
∴二面角A-PB-D的大小為arctan

2 3

3

.

點評：本小題主要考查直線與平面垂直的判定，以及二面角等基礎知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力．