Question

已知函數f(x)＝lg(a^x－b^x)(a>1>b>0)．
(1)求y＝f(x)的定義域；
(2)在函數y＝f(x)的圖象上是否存在不同的兩點，使得過這兩點的直線平行于x軸；
(3)當a，b滿足什么條件時，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．

Answer 1

(1) f(x)的定義域是(0，＋∞)．
(2)函數y＝f(x)的圖象上不存在不同兩點，使過這兩點的直線平行于x軸．
(3)當a≥b＋1時，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．

解析試題分析：(1)由a^x－b^x>0得（）^x>1，
∵a>1>b>0，∴>1，∴x>0.
∴f(x)的定義域是(0，＋∞)．
(2)任取x₁、x₂∈(0，＋∞)且x₁>x₂，
∵a>1>b>0，∴ax₁>ax₂>1，bx₁<bx₂<1
∴ax₁－bx₁>ax₂－bx₂>0
∴lg(ax₁－bx₁)>lg(ax₂－bx₂)
故f(x₁)>f(x₂)
∴f(x)在(0，＋∞)上為增函數．
假設y＝f(x)的圖象上存在不同的兩點A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，使過A、B兩點的直線平行于x軸，則x₁≠x₂，y₁＝y₂，這與f(x)是增函數矛盾．故函數y＝f(x)的圖象上不存在不同兩點，使過這兩點的直線平行于x軸．
(3)∵f(x)是增函數，∴當x∈(1，＋∞)時，f(x)>f(1)．
這樣只需f(1)≥0，即lg(a－b)≥0，
∴a－b≥1.
即當a≥b＋1時，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．
考點：對數函數的性質，函數的單調性，函數的圖象，不等式恒成立問題。
點評：中檔題，本題綜合性較強，較全面的考查函數的圖象和性質。不等式的恒成立問題，往往通過研究函數的單調性及最值，使問題得到解決。本題研究函數的單調性，主要利用了增（減）函數的定義，遵循“設，作差，變形，定號，結論”等加以研究。