Question

已知函數，．
（Ⅰ）設（其中是的導函數），求的最大值；
（Ⅱ）求證:當時，有；
（Ⅲ）設,當時,不等式恒成立，求的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）取得最大值；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）整數的最大值是.

試題分析：(Ⅰ)通過求的導函數處理函數的單調性，從而確定在時，取得最大值；（Ⅱ）由(Ⅰ)可知當時，，從而有．（Ⅲ）先由當時,不等式恒成立轉化為對任意恒成立,設，通過導函數求出的單調性從而得出，整數的最大值是.
試題解析：(Ⅰ),所以 ．  
當時，；當時，．
因此，在上單調遞增，在上單調遞減．
因此，當時，取得最大值；                 3分
（Ⅱ）當時，．由（1）知：當時，，即．
因此，有．      7分
（Ⅲ）不等式化為所以
對任意恒成立．令，
則，令，則，
所以函數在上單調遞增．因為，
所以方程在上存在唯一實根，且滿足．
當，即，當，即，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增．
所以．
所以．故整數的最大值是.        13分