Question

在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的（　　）

A．充要條件

B．2充分部必要條件

C．必要不充分條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：考查四個選項知，可先證充分性，由，“A＞B”推導“sinA＞sinB”，分A是銳角與A不是銳角兩類證明即可；再證必要性，由于在（0，π）上正弦函數不是單調函數，可分兩類證明，當A是鈍角時，與A不是鈍角時，易證，再由充分條件必要條件的定義得出正確選項即可

解答：解：1°由題意，在△ABC中，“A＞B”，由于A+B＜π，必有B＜π-A
若A，B都是銳角，顯然有“sinA＞sinB”成立，
若A，B之一為銳角，必是B為銳角，此時有π-A不是鈍角，由于A+B＜π，必有B＜π-A≤

π

2

，此時有sin（π-A）=sinA＞sinB
綜上，△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充分條件
2°研究sinA＞sinB，若A不是銳角，顯然可得出A＞B，若A是銳角，亦可得出A＞B，
綜上在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的必要條件
綜合1°，2°知，在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充要條件，
故選A

點評：本題考查充要條件的判斷，證明充要條件要分兩步證明，先證充分性再證必要性，解題的關鍵是理解題意及充要條件證明的方法，本題考查到了分類討論的思想，考查了推理判斷的能力．