Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）若恒成立，求a的取值范圍；

（2）若，證明：在有唯一的極值點(diǎn)x，且.

Answer 1

【答案】（1）.（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）計(jì)算得到，再證明當(dāng)（）時(shí)，，先證明（），討論和兩種情況，計(jì)算得到證明.

（2）求導(dǎo)得到，，得到存在唯一實(shí)數(shù)，使，存在唯一實(shí)數(shù)，使，得到，得到證明.

（1）由，得，即，解得，，

以下證明，當(dāng)（）時(shí)，.

為此先證：（）.

若，則；

若，則.

令（），可知，函數(shù)單調(diào)遞增，

故，即（），

綜上所述：（）.

若（），則當(dāng)時(shí)，，

故，即；

當(dāng)時(shí)，，由（），

得.

故當(dāng)（）時(shí)，.

綜上，所求a的取值范圍是.

（2），令，

，∵，∴是上的增函數(shù)，

又，，

故存在唯一實(shí)數(shù)，使，當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增.

又，則，，，

∴，，.

故存在唯一實(shí)數(shù)，使.

當(dāng)時(shí)，，遞減；

當(dāng)時(shí)，，遞增.

所以在區(qū)間有唯一極小值點(diǎn)，且極小值為.

又由，得，

∴.

又.

以下只需證明，即證，.

∵，∴.

則，所以.