Question

【題目】已知拋物線的焦點為F，過F點的直線交拋物線于不同的兩點A、B，且，點A關于軸的對稱點為，線段的中垂線交軸于點D，則D點的坐標為

A. (2，0)B. (3，0)C. (4，0)D. (5，0)

Answer 1

【答案】D

【解析】

F的坐標為（1，0），設l的方程為y＝k（x﹣1）代入拋物線y2＝4x，設A（x1，y1），B（x2，y2），利用韋達定理以及拋物線的定義，求出k，即可求解直線的方程．再寫出 的中垂線方程，令 即可求出D點坐標。

解：F的坐標為（1，0），

設的方程為y＝k（x﹣1）代入拋物線y2＝4x得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，

由題意知k≠0，且[﹣（2k2+4）]2﹣4k2k2＝16（k2+1）＞0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），∴ ，x1x2＝1，

由拋物線的定義知|AB|＝x1+x2+2＝8，

∴，∴k2＝1，即k＝±1，∴直線的方程為y＝±（x﹣1）．

，B（x2，y2），則其中點坐標為

直線 的斜率為 ，

則其中垂線斜率為

∴直線 的中垂線方程為

令 ，得 ， D點坐標為（5,0）

故選D.