Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)分別記為．

①求的取值范圍；

②求證：．

Answer 1

【答案】⑴見(jiàn)解析；⑵見(jiàn)解析；⑶見(jiàn)證明

【解析】

（1），可分四種情況討論的符號(hào)后可得的單調(diào)性．

（2）①結(jié)合（1）中函數(shù)的單調(diào)性討論，當(dāng)時(shí)，無(wú)兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，利用零點(diǎn)存在定理可得有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，利用時(shí)恒成立得到在上沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及可得在上不可能有兩個(gè)零點(diǎn)．

②結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知原不等式的證明可歸結(jié)為，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可證在上為單調(diào)增函數(shù)，設(shè)，利用及可得．

（1），

（i）當(dāng)時(shí)，，

時(shí)，單調(diào)遞減；

時(shí)，單調(diào)遞增．

（ii）當(dāng)時(shí)，

時(shí)，單調(diào)遞增；

時(shí)，單調(diào)遞減；

時(shí)，單調(diào)遞增．

（iii）當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單增．

（iv）當(dāng)時(shí)，

時(shí)，單調(diào)遞增；

時(shí)，單調(diào)遞減，

時(shí)，單調(diào)遞增．

綜上所述：時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；

時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

時(shí)，在上單調(diào)遞增；

時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.

（2）①，

（i）當(dāng)時(shí)，，只有一個(gè)零點(diǎn)，舍去；

（ii）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，

又，取且，

則

，

存在兩個(gè)零點(diǎn)．

（iii）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，時(shí)，

不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，舍去．

（iv）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，舍去．

（v）當(dāng)時(shí)，時(shí)，，又在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，舍去．

綜上所述：．

②由①知：，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

要證， 即證，即證，

令，則

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．

不妨設(shè)，則，即，

又 ，，

在上單調(diào)遞減， ， ，原命題得證．