【題目】已知函數
.
（1）討論函數
的單調性；
（2）若
，
，且存在不相等的實數
，
，使得
，求證：
且
.
【答案】(1)見證明；(2)見證明
【解析】
（1）求得函數的導數
，分類討論，即可求解函數的單調區間；
（2）由存在不相等的實數
，
，使得
矛盾，得到
，再由，轉化為證明
，轉化為證明
，利用換元法和導數，求得函數的單調性與最值，即可求解.
（1）由題意，函數
，可得
，
當
時，因為
，所以
，所以
，
故函數
在
上單調遞增；
當
時，
，
，所以，
故函數在單調遞增；當
時，，
解得
或
，
，
解得
，
所以函數在區間
上單調遞減，
在區間
和區間
上單調遞增.
綜上所述，當
時，函數在上單調遞增，
當時，函數在區間上單調遞減，
在區間和區間上單調遞增.
（2）由題知
，則
.
當時，
，所以
在上單調遞增，
與存在不相等的實數，，使得矛盾，所以.
由，得
，
所以
，不妨設
，
因為
，所以，
欲證
，只需證
，
只需證，
令
，
，等價于證明
，即證
，
令
，
，
所以
在區間
上單調遞減，所以
，
從而得證，于是
.
名師點睛字詞句段篇系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】謝爾賓斯基三角形（Sierpinski triangle）是一種分形，由波蘭數學家謝爾賓斯基在1915年提出.在一個正三角形中，挖去一個“中心三角形”（即以原三角形各邊的中點為頂點的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一個“中心三角形”，我們用白色三角形代表挖去的部分，黑色三角形為剩下的部分，我們稱此三角形為謝爾賓斯基三角形.若在圖（3）內隨機取一點，則此點取自謝爾賓斯基三角形的概率是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】工廠抽取了在一段時間內生產的一批產品，測量一項質量指標值，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）計算該樣本的平均值
，方差
；（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）
（2）若質量指標值在
之內為一等品.
（i）用樣本估計總體，問該工廠一天生產的產品是否有
以上為一等品？
（ii）某天早上、下午分別抽檢了50件產品，完成下面的表格，并根據已有數據，判斷是否有
的把握認為一等品率與生產時間有關？
一等品個數 | 非一等品個數 | 總計 | |
早上 | 36 | 50 | |
下午 | 26 | 50 | |
總計 |
附：
.
| 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
參考數據：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分12分，（1）小問5分，（2）小問7分）
如圖，橢圓
的左、右焦點分別為
過
的直線交橢圓于
兩點，且
（1）若
，求橢圓的標準方程
（2）若
求橢圓的離心率
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知a＞0，且a≠1．命題P：函數f（x）＝logax在（0，+∞）上為增函數；命題Q：函數g（x）＝x2﹣2ax+4有零點．
（1）若命題P，Q滿足P真Q假，求實數a的取值范圍；
（2）命題S：函數y＝f（g（x））在區間[2，+∞）上值恒為正數．若命題S為真命題，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著手機的發展，“微信”逐漸成為人們支付購物的一種形式.某機構對“使用微信支付”的態度進行調查，隨機抽取了50人，他們年齡的頻數分布及對“使用微信支付”贊成人數如下表.
年齡 （單位：歲） |
|
|
|
|
|
|
頻數 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
贊成人數 | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
（Ⅰ）若以“年齡45歲為分界點”，由以上統計數據完成下面
列聯表，并判斷是否有99%的把握認為“使用微信支付”的態度與人的年齡有關；
年齡不低于45歲的人數 | 年齡低于45歲的人數 | 合計 | |
贊成 | |||
不贊成 | |||
合計 |
（Ⅱ）若從年齡在
的被調查人中按照贊成與不贊成分層抽樣，抽取5人進行追蹤調查，在5人中抽取3人做專訪，求3人中不贊成使用微信支付的人數的分布列和期望值.
參考數據：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
，其中
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】記焦點在同一條軸上且離心率相同的橢圓為“相似橢圓”.已知橢圓
，以橢圓
的焦點為頂點作相似橢圓
.
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)設直線
與橢圓交于
兩點，且與橢圓僅有一個公共點，試判斷
的面積是否為定值(
為坐標原點)？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
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