Question

【題目】如圖，在平行四邊形中， °，四邊形是矩形， ，平面平面.

（1）若，求證： ；

（2）若二面角的正弦值為，求的值.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）或.

【解析】分析：連接，在中，利用余弦定理和勾股定理，得到，再由四邊形為矩形，得到，進而得到， ，利用線面垂直的判定定理證得面，即可證得；

（2）以為原點， 所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，求解平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值，即可求解的值.

詳解：(1)連接，在中，由，由余弦定理易得，又，則；同理由余弦定理易得： ，由四邊形是矩形，則，又平面平面，所以平面，所以，同理，由勾股定理易求得， ,顯然,故；

由，所以面，所以，所以面，所以；

(2)以點為原點， 所在的直線分別為軸， 軸，過點與平面垂直的直線軸建立空間直角坐標系，則

設平面的法向量為，則,即,

取，則，即,

同理可求得平面的法向量為

設二面角的平面角為，則

則，即，解之得或，又,

所以或