Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．

（Ⅰ）求證：AA1⊥平面ABC；

（Ⅱ）求證二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）先利用正方形得到線線垂直，再利用面面垂直的性質定理進行證明；（Ⅱ）利用勾股定理證明線線垂直，合理建立空間直角坐標系，寫出出相關點的坐標，求出相關平面的法向量，再通過空間向量的夾角公式進行求解.

試題解析：（I）證明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，

∴AA1⊥平面ABC．

（II）由AC=4，BC=5，AB=3．

∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．

建立如圖所示的空間直角坐標系，則A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），∴，，．

設平面A1BC1的法向量為，平面B1BC1的法向量為=．

則，令，解得，∴．

，令，解得，∴．

===．

∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值為．