Question

如圖，已知矩形ABCD中，AB=1,BC=，PA平面ABCD，且PA=1。
(1)問BC邊上是否存在點Q，使得PQQD?并說明理由；
(2)若邊上有且只有一個點Q，使得PQQD,求這時二面角Q的正切。

Answer 1

(1) (i)當時，BC上存在點Q,使PQQD；
(ii)當時，BC上不存在點Q，使PQQD。
(2)

(1)(如圖)以A為原點建立空間直角坐標系,設，
則Q,P(0,0,1),D得,
由,有,得         ①
若方程①有解,必為正數解，且小于。
由,,得。
(i)當時，BC上存在點Q,使PQQD；
(ii)當時，BC上不存在點Q，使PQQD。
(2)要使BC邊上有且只有一個點Q,使PQQD,則方程①有兩個相等的實根,
這時,，得,有。
又平面APD的法向量，設平面PQD的法向量為
而，，
由,得，解得
有，則，則。
所以二面角的正切為